d(x)是什么函数?d(x)=1 x为有理数 =0 x为无理数复习资料上有这个函数,老师讲叫什么di li de er函

你要知道：
有理数 + 有理数 = 有理数
无理数 + 有理数 = 无理数
而
无理数 + 无理数 不一定等于 无理数 （比如 3+pi 和 3-pi 两个无理数相加等于 6 为有理数）
所以
由周期定义,对任意 x 都有 f(x+T) = f(x).狄利克雷函数用 D(x) 表示：
当 T 为任意有理数时,
1. 当 x 为有理数时,x+T 还是有理数,所以有 D(x+T) = D(x) = 1
2. 当 x 为无理数时,x+T 还是无理数,所以有 D(x+T) = D(x) = 0
所以任意有理数是 D(x) 的周期,所以 D(x) 也不存在最小正周期.
而当 T 为任意无理数时：
1. 当 x 为有理数时,x+T 是无理数,所以有 D(x+T) = 0 而 D(x) = 1
2. 当 x 为无理数时,x+T 不确定,所以有 D(x+T) = 0 或 1 而 D(x) = 0
所以任意无理数不是 D(x) 的周期.