已知函数f(x)＝2cos(x−π3)+2sin(3π2−x)

解题思路：由题意可得：f（x）=2sin（x-[π/6]）．（1）当2kπ+

π

2

≤x−

π

6

≤2kπ+

3π

2

，即化简可得函数的单调减区间．（2）根据正弦函数的性质可得：当x−

π

6

＝2kπ+

π

2

，即x＝2kπ+

2π

3

时，函数f（x）有最大值．（3）由题意可得：2sin（x-[π/6]）=[6/5]，所以sin（x-[π/6]）=[3/5]．再集合二倍角公式可得：cos（2x-[π/3]）=1-2sin²（x-[π/6]）=[7/25]．

由题意可得：f(x)＝2cos(x−
π
3)+2sin(
3π
2−x)，化简可得f（x）=2sin（x-[π/6]）．
（1）当2kπ+
π
2≤x−
π
6≤2kπ+
3π
2，即化简可得2kπ+
2π
3≤x≤2kπ+
5π
3，
所以函数f（x）的单调递减区间为[2kπ+
2π
3，2kπ+
5π
3]，(k∈Z)．
（2）当x−
π
6＝2kπ+
π
2，即x＝2kπ+
2π
3时，函数f（x）有最大值2，
并且此时x的集合为{x|x＝2kπ+
2π
3，k∈Z}．
（3）由题意可得：f(x)＝
6
5，即2sin（x-[π/6]）=[6/5]，所以sin（x-[π/6]）=[3/5]．
所以cos（2x-[π/3]）=1-2sin²（x-[π/6]）=[7/25]．

点评：
本题考点： 三角函数的最值；两角和与差的余弦函数．

考点点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握两角和与差的正弦余弦公式，以及三角函数的有关性质．