已知x的二次三项式ax^2+bx+c对于x的所有整数值,都表示平方数（整数的平方）.证明：a、b都是整数

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牛肉面条 幼苗

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(1)
f(x) = ax^2+bx + c
f(0) = c
=> c 是整数
f(1) = a + b + c (1)
f(-1) = a -b + c (2)
(1) -(2)
2b = f(1) - f(-1)
=>2b 是整数
(1) +(2)
2a + 2c = f(1) + f(-1)
2a = f(1) + f(-1) -2c
=>2a是整数

1年前 追问

10

beecool 举报

你还没有解释完呢 为什么a，b是整数？

beecool 举报

没证完额。。。 a和b为什么是整数？ 帮下忙谢了

举报 牛肉面条

令x=2，-2时，可设a•22+b•2+c=m22③a•（-2）2+b•（-2）+c=n22④c=k12（m2n2k1均为整数）， ③-④得：4b=m22-n22=（m2+n2）（m2-n2）=2（2b）， ∵2b为整数， ∴2（2b）为偶数，则m22-n22为偶数， ∴（m2+n2），（m2-n2）同奇同偶， 则可设（m2+n2）=2m，（m2-n2）=2n（m，n均为整数）， ∴4b=2m•2n=4mn， ∴b=mn， ∴b为整数
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