已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c满足：对所有实数x都有f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c满足：对所有实数x都有f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1
求f(x)的解析式,求f(x)在[0,2]上的值域

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f(0)=1,得c=1
[a(x+1)²+b(x+1)+1]-(ax²+bx+1)=2x
化简整理得2ax-2x+a+b=0
当x=-1时,-a+b+2=0
当x=1时,3a+b-2=0
解得 a=1,b=-1
所以f(x)=x²-x+1
对称轴为x=1/2
所以函数在[0,2]上最小值在x=1/2取得为3/4
最大值在x=2时取得为3
所以f(x)在[0,2]的值域为[3/4,3]

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