已知双曲线C：x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e．直线l：y=ex+a与x

解题思路：（1）首先求出A、B两点坐标，然后联立直线方程和双曲线方程，并利用韦达定理得出只有一个公共点及坐标；
（2）根据点的坐标以及

AM

＝λ

AB

，得出−

b2

a

＝λa，λ＝−

b2

a2

＝−

c2−a2

a2

＝1−e2，即可得出结论；
（3）分三种情况讨论）（ⅰ）因为直线AB为F₁P的中垂线，而F₂不在直线AB上（点A与F₂不重合）不符合题意；（ⅱ）当|F₂F₁|=|F₁P|时，得出

|e(−c)+0+a|

1+e2

＝c，整理得e＝

3

3

＜1，不符合题意；（ⅲ）当|PF₂|=|PF₁|时，设出p点坐标得出，kPF1＝

yp

0−(−c)

＝−

1

kAB

＝−

a

c

，进而求出P点坐标和PF₁的中点坐标代入直线方程即可求出e．

（1）证明：因为A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，
所以点A、B的坐标分别是A(−
a2
c ， 0)，B（0，a），
解

y＝ex+a

x2
a2−
y2
b2＝1整理得 x²+2cx+c²=0，解得

x＝−c
y＝−
b2
a即M(−c，−
b2
a)，
所以直线l与双曲线C只有一个公共点、…（3分）
（2）因为

AM＝λ

AB，所以(−c+
a2
c，−

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．