堂堂翰林 春芽
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e−1 |
e |
(Ⅰ)由题设知,f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=a+
b
x,
∵f(x)在x=e处的切线方程为(e-1)x+ey-e=0,
∴f′(e)=−
e−1
e,且f(e)=2-e,即a+
b
e=−
e−1
e,且ae+b+c=2-e,
又f(1)=a+c=0,解得a=-1,b=1,c=1…(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=-x+lnx+1(x>0)
∴g(x)=x2+mf(x)=x2-mx+mlnx+m(x>0)
∴g′(x)=2x−m+
m
x=
1
x(2x2−mx+m)(x>0)…(7分)
令d(x)=2x2-mx+m(x>0).
(ⅰ)当函数g(x)在(1,3)内有一个极值时,g′(x)=0在(1,3)内有且仅有一个根,
即d(x)=2x2-mx+m=0在(1,3)内有且仅有一个根,
又∵d(1)=2>0,当d(3)=0,即m=9时,d(x)=2x2-mx+m=0在(1,3)内有且仅有一个根x=
3
2,当d(3)≠0时,应有d(3)<0,即2×32-3m+m<0,解得m>9,
∴m≥9.
(ⅱ)当函数g(x)在(1,3)内有两个极值时,g′(x)=0在(1,3)内有两个根,
即二次函数d(x)=2x2-mx+m=0在(1,3)内有两个不等根,
所以
△=m2−4×2×m>0
d(1)=2−m+m>0
d(3)=2×32−3m+m>0
1<
m
4<3,解得8<m<9.
综上,实数m的取值范围是(8,+∞)…(13分)
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的极值,考查分类讨论的数学思想,考查学生的计算能力,属于中档题.
1年前
1年前4个回答
1年前1个回答
1年前1个回答
已知函数f(x)=ax2+blnx在x=1处有极值[1/2].
1年前4个回答
已知函数f(x)=ax2+blnx在x=1处有极值[1/2].
1年前2个回答
已知函数f(x)=ax2+blnx在x=1处有极值[1/2].
1年前10个回答
已知函数f(x)=blnx g(x)=ax²-x (a属于R)
1年前3个回答
已知函数f(x)=blnx,g(x)=ax2-x(a∈R).
1年前1个回答
已知函数f(x)=ax2+x+blnx在x=1与x=2处取极值.
1年前1个回答
你能帮帮他们吗