已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2-x（a∈R）．

（1）∵f（x）=blnx，g（x）=ax²-x（a∈R），
∴f′(x)＝
b
x，g'（x）=2ax-1．…（2分）
∵曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，
∴

f(1)＝bln1＝0
g(1)＝a−1＝0
b＝2a−1，解得

a＝1
b＝1．…（4分）
（2）设F（x）=f（x）-g（x）=lnx-（x²-x），x＞0
则F′(x)＝
1
x−2x+1＝
−(2x+1)(x−1)
x，…（5分）
∴当x＞1时，y＜0；当-[1/2]＜x＜0时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0；当x＜-[1/2]时，y＞0．
∴F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（7分）
∴F（x）最大值为F（1）=ln1-（1-1）=0．
∴F（x）=f（x）-g（x）≤0，即f（x）≤g（x）．…（8分）
（3）∵f（x）=blnx，g（x）=ax²-x，a=1，b＞2e
∴f（x）-g（x）=x转化为blnx-x²=0，
令G（x）=blnx-x²，则G′(x)＝
b−2x2
x，
由G′(x)＝
b−2x2
x=0，得x=±

b
2，
∵x∈（1，e^b）且b＞2e，
∴

b
2＞
e＞1，e^b＞

b
2，
∴由G′（x）＞0得1＜x＜

b
2，由G′（x）＜0，得

b
2＜x＜eb，
∴G（x）在(1，

b
2)上单调递增，在(

b
2，eb)上单调递减
∴当x=

b
2时，Gmax(x)＝bln

b
2−
b
2＝
b
2ln
b
2−
b
2＝
b
2(ln
b
2−1)，…（10分）
∵b＞2e，∴[b/2＞e，∴ln
b
2＞lne＝1，∴G(

b
2)＞0
又∵G（1）=-1＜0G（e^b）=blne^b-e^2b=b²-e^2b=（b+e^b）（b-e^b）＜0，
∴方程f（x）-g（x）=x在区间（1，e^b）内有两个实根．…（12分）

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查导数的几何意义的应用，考查不等式恒成立的证明，考查方程的实根个数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．

1年前

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