已知函数f（x）=x2+ax+blnx（a，b∈R）

（1）函数f（x）=x²-3x+lnx，则f′（x）=2x-3+[1/x]，
令f′（x）=0，得x=1，或x=[1/2]．
当0＜x＜[1/2]时，f′（x）＞0，函数单调递增；
当[1/2]＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减；
当x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增
∴f（x）在x=1处取得极小值-2；
（2）证明：当b=-1时，f（x）=x²+ax-lnx．
设切点为M（t，f（t）），则f′（x）=2x+ax-[1/x]
切线的斜率k=2t+a-[1/t]，又切线过原点k=
f(t)
t，
∴2t+a-[1/t]=
f(t)
t，
∴t²-1+lnt=0，
t=1满足方程t²-1+lnt=0，
设φ（t）=t²-1+lnt，则φ′（t）=2t+[1/t]＞0，
∴φ（t）在（0，+∞）递增，且φ（1）=0，
∴t²-1+lnt=0有唯一解，
∴切点的横坐标为1；
（3）当a=0，b=1时，g（x）=[f（x）-x²-1]e^x+x=（lnx-1）e^x+x，
∴g′（x）=（[1/x]+lnx-1）e^x+1，
∵x₀∈（0，+∞），
∴[1
x0+lnx0−1≥0，
∵ex0＞0，
∴g′（x₀）≥1＞0，
曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直等价于方程g'（x₀）=0有实数解．
而g'（x₀）＞0，即方程g'（x₀）=0无实数解．
故不存在x₀∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于中档题．

1年前

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