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镌刻朽木 春芽
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(Ⅰ)证明:设h(x)=[lnx/x],则h′(x)=[1−lnx
x2,当x>e时,h′(x)<0,∴h(x)在(e,+∞)内是减函数,又x2>x1>e,∴h(x1)>h(x2)即
lnx1
x1>
lnx2
x2,故得x2lnx1>x1lnx2.又b>0,故有bx2lnx1>bx1lnx2,即x2g(x1)>x1g(x2);
(Ⅱ)由题意,f′(x)=
1/x+2−
a
x2]=
x2−ax−2a
(x+2)x2,x∈(0,+∞)
①当a≤0时,对于x∈(0,+∞),由f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
②当a>0时,由f'(x)>0,解得x>
a+
a2+8a
2,由f'(x)<0,解得0<x<
a+
a2+8a
2,∴函数f(x)在(0,
a+
a2+8a
2)内是减函数,在(
a+
a2
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.
考点点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性,求解本题的关键是求出导数,根据函数的解析式与导数的形式对函数的单调性进行研究,本题中的第二小题属于探究型题目,要根据所能得出的性质对函数的性质进行推测,如本题中0<b≤1时没有从导数的角度研究零点的存在性,而采取了从函数值恒正的角度,解题时根据题设条件选择合适的角度对问题进行研究很关键.本题运算量较大,易因运算马虎出错,变形时一定要严谨.
1年前
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