已知函数f（x）满足2f（x+2）-f（x）=0，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax(a＜−12)，当x∈（-4

解题思路：（I）先求出函数在（-4，-2）上的解析式，利用函数的导数求出函数的最大值（用a表示），令其等于-4，从而求出a；
（II）由任意的x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），使f（x₁）-g（x₂）=0，函数f（x）的值域是函数g（x）值域的子集，即转化为求两个函数的值域，用函数的导数法即可解决．

（I）由已知，得2f（x+2）=f（x），
∴f（x）=2f（x+2）=4f（x+4）（4分）
∵x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax，
设x∈（-4，-2），则x+4∈（0，2），
∴f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4），
∴x∈（-4，-2）时，f（x）=4f（x+4）=4ln（x+4）+4a（x+4），
所以f′(x)＝
4
x+4+4a＞0，
∵x∈（-4，-2），
∴-4ax＜4+16a，
∵a＜−
1
2，
∴f(x)max＝f(−
1
a−4)＝4ln(−
1
a)+4a•(−
1
a)＝−4．
又由a＜−
1
2，可得−4＜−
1
a−4＜−2，
∴f（x）在(−4，−
1
a−4)上是增函数，在(−
1
a−4，−2)上是减函数，
∴f(x)max＝f(−
1
a−4)＝4ln(−
1
a)+4a•(−
1
a)＝−4．
∴a=-1（7分）

（II）设f（x）的值域为A，g（x）的值域为B，
则由已知，对于任意的x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），使f（x₁）-g（x₂）=0得，A⊆B．（9分）
由（I）a=-1，当x∈（1，2）时，f（x）=lnx-x，f′(x)＝
1
x−1＝
1−x
x，
∵x∈（1，2），
∴f′（x）＜0，f（x）在x∈（1，2）上单调递减函数，
∴f（x）的值域为A=（ln2-2，-1）（10分）
∵g'（x）=bx²-b=b（x-1）（x+1），
∴（1）当b＜0时，g（x）在（1，2）上是减函数，
此时，g（x）的值域为B＝(
2
3b，−
2
3b)，
为满足A⊆B，又−
2
3b≥0＞−1．
∴
2
3b≤ln2−2．即b≤
3
2ln2−3．（11分）
（2）当b＞0时，g（x）在（1，2）上是单调递增函数，
此时，g（x）的值域为B＝(−
2
3b，
2
3b)，为满足A⊆B，
又，∴−
2
3b≤ln2−2，
∴b≥−
3
2(ln2−2)＝3−
3
2ln2，
综上可知b的取值范围是(−∞，
3
2ln2−3]∪[3−
3
2ln2，+∞)（12分）

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数最值的应用．

考点点评： 本题考查函数的导数在研究函数的最值中的应用，考查子集概念的理解，解题的关键是分类讨论思想与转化思想，化“生”为“熟”是解题之“良方”．