已知,如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边BC在x轴上,直角顶点A在y轴的正半轴上,A（0,2）,B（-1,0）
已知,如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边BC在x轴上,直角顶点A在y轴的正半轴上,A（0,2）,B（-1,0）．
（1）求点C的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；
（3）设点P（m,n）是抛物线在第一象限部分上的点,△PAC的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求使S最大时点P的坐标；
（4）在抛物线对称轴上,是否存在这样的点M,使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时的点）为等腰三角形?若存在,请直接写出点M的坐标；若不存在,请说明理由．
（1）求点C的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；
（3）设点P（m,n）是抛物线在第一象限部分上的点,△PAC的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求使S最大时点P的坐标；
（4）在抛物线对称轴上,是否存在这样的点M,使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时的点）为等腰三角形?若存在,请直接写出点M的坐标；若不存在,请说明理由．
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⑴OA=2,OB=1,
易得：RTΔOAB∽RTΔOCA,∴OA/OC=OB/OA,∴OC=4,C(4,0),
⑵抛物线过C、B可设为y=a(x-4)(x+1),又过(0,2)得：2=a*(-4),a=-1/2,
∴解析式为：y=-1/2(X^2-3X-4)=-1/2(X-3/2)^2+25/8,对称轴：X=3/2；
⑶直线AC解析式为：Y=-1/2X+2,过P作PQ⊥X轴于Q,交AC于D,
则D(m,-1/2m+2),又P(m,-1/2m^2+3/4m+2),
∴DP=-1/2m^2+2m,
∴SΔPAC=SΔPDA+SΔPDC=1/2DP(AQ+CQ)=-m^2+4m=-(m-2)^2+4,
∴当m=2时,S最大=4；此时P(2,3/2)；
⑷CQ=2,PQ=3/2,∴PA=5/2,设对称轴交X轴于E,
QE=3/2,
①当PM=PC=5/2时,√(PM^2-QE^2)=√6,
∴M(3/2,3/2±√6),
②当CP=CM=5/2时,∵EM=OC-OE=5/2,
∴M(3/2,0)
③MC=MP,设CP中点为R,设M(3/2,K),
∴K^2+(5/2)^2=(1/2)^2+(3/2-K)^2,K=-5/4,
M(3/2,-5/4),
综上所述,满足条件的M的四个点：
M1(3/2,3/2+√6),M2(3/2,3/2-√6),
M3(3/2,-5/4),M4(3/2,0).
易得：RTΔOAB∽RTΔOCA,∴OA/OC=OB/OA,∴OC=4,C(4,0),
⑵抛物线过C、B可设为y=a(x-4)(x+1),又过(0,2)得：2=a*(-4),a=-1/2,
∴解析式为：y=-1/2(X^2-3X-4)=-1/2(X-3/2)^2+25/8,对称轴：X=3/2；
⑶直线AC解析式为：Y=-1/2X+2,过P作PQ⊥X轴于Q,交AC于D,
则D(m,-1/2m+2),又P(m,-1/2m^2+3/4m+2),
∴DP=-1/2m^2+2m,
∴SΔPAC=SΔPDA+SΔPDC=1/2DP(AQ+CQ)=-m^2+4m=-(m-2)^2+4,
∴当m=2时,S最大=4；此时P(2,3/2)；
⑷CQ=2,PQ=3/2,∴PA=5/2,设对称轴交X轴于E,
QE=3/2,
①当PM=PC=5/2时,√(PM^2-QE^2)=√6,
∴M(3/2,3/2±√6),
②当CP=CM=5/2时,∵EM=OC-OE=5/2,
∴M(3/2,0)
③MC=MP,设CP中点为R,设M(3/2,K),
∴K^2+(5/2)^2=(1/2)^2+(3/2-K)^2,K=-5/4,
M(3/2,-5/4),
综上所述,满足条件的M的四个点：
M1(3/2,3/2+√6),M2(3/2,3/2-√6),
M3(3/2,-5/4),M4(3/2,0).
1年前
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