已知椭圆C1:X2/a2+Y2/b2的一条准线方程为x=25/4,其左右顶点分别是A、B.双曲线C2：X2/a2-Y2/
已知椭圆C1:X2/a2+Y2/b2的一条准线方程为x=25/4,其左右顶点分别是A、B.双曲线C2：X2/a2-Y2/b2=1,双曲线的一条渐近线方程为3x-5y=0
问：在第一象限内取双曲线C2上的一点P,连接AP交椭圆C1于点M,连接PB并延长交椭圆C1于点N,若AM向量=MP向量,求证：MN向量*AB向量=0
问：在第一象限内取双曲线C2上的一点P,连接AP交椭圆C1于点M,连接PB并延长交椭圆C1于点N,若AM向量=MP向量,求证：MN向量*AB向量=0
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由已知 a2 c =25 4 b a =3 5 c2=a2-b2 解得：a=5 b=3 c=4
∴椭圆的方程为x2 25 +y2 9 =1,双曲线的方程x2 25 -y2 9 =1．
又c′= 25+9 = 34 ∴双曲线的离心率e2= 34 5
由（Ⅰ）A（-5,0）,B（5,0）,设M(x0,y0),则由 AM = MP
得M为AP的中点,∴P点坐标为（2x0+5,2y0）
将M、P坐标代入C1、C2方程得 x 20 25 +y 20 9 =1 (2x0+5) 25 -y 20 9 =1
消去y0得2x02+5x0-25=0解之得x0=5 2 或x0=-5(舍)
由此可得P（10,3 3 ),直线PB：y=3 3 10-5 (x-5)即y=3 3 5 (x-5)
代入x2 25 +y2 9 =1得：2x2-15x+25=0,∴x=5 2 或5(舍)∴xN=5 2 ,∴xN=xM,
故MN⊥x轴,所以 MN • AB =0
∴椭圆的方程为x2 25 +y2 9 =1,双曲线的方程x2 25 -y2 9 =1．
又c′= 25+9 = 34 ∴双曲线的离心率e2= 34 5
由（Ⅰ）A（-5,0）,B（5,0）,设M(x0,y0),则由 AM = MP
得M为AP的中点,∴P点坐标为（2x0+5,2y0）
将M、P坐标代入C1、C2方程得 x 20 25 +y 20 9 =1 (2x0+5) 25 -y 20 9 =1
消去y0得2x02+5x0-25=0解之得x0=5 2 或x0=-5(舍)
由此可得P（10,3 3 ),直线PB：y=3 3 10-5 (x-5)即y=3 3 5 (x-5)
代入x2 25 +y2 9 =1得：2x2-15x+25=0,∴x=5 2 或5(舍)∴xN=5 2 ,∴xN=xM,
故MN⊥x轴,所以 MN • AB =0
1年前
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