已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x的方程x2−2nx+bn＝0，(n∈N*)的两根，且a1=1

解题思路：（1）利用a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿ•x+b_n=0（n∈N^*）的两实根，可得a_n+a_n+1=2ⁿ，整理变形可得数列{an−

1

3

×2n}是等比数列；
（2）确定数列的同学，分组求和，可得结论；
（3）关键b_n=a_n•a_n+1，b_n-tS_n＞0，可得不等式，分类讨论，可求t的取值范围．

（1）证明：∵a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿ•x+b_n=0（n∈N^*）的两实根，
∴a_n+a_n+1=2ⁿ，∴an+1−
1
3•2n+1＝−(an−
1
3•2n)
∴
an+1−
1
3•2n+1
an−
1
3•2n＝−1
∴数列{an−
1
3×2n}是等比数列；
（2）∵a₁=1，∴a1−
2
3＝
1
3，q＝−1∴an＝
1
3[2n−(−1)n]
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n



＝
1
3[(2+22+…+2n)−((−1)+(−1)2+…+(−1)n)]＝
1
3[
2(1−2n)
1−2−
(−1)(1−(−1)n)
1+1]
=[1/3[2n+1−2−
−1+(−1)n
2]；
（3）∵b_n=a_n•a_n+1，∴bn＝
1
9[2n−(−1)n][2n+1−(−1)n+1]＝
1
9[22n+1−(−2)n−1]＞0
∵b_n-tS_n＞0，∴
1
9[22n+1−(−2)n−1]−t•
1
3[2n+1−2−
(−1)n−1
2]＞0
∴当n为奇数时，


1
9[22n+1+2n−1]−
t
3(2n+1−1)＞0∴t＜
1
3(2n+1)]，∵n为奇数，∴t＜1；
当n为偶数时，


1
9[22n+1−2n−1]−
t
3(2n+1−2)＞0，∴[1/9[22n+1−2n−1]−
2t
3(2n−1)＞0
∴t＜
1
6(2n+1+1)对任意正偶数n都成立，∴t＜
3
2]
综上所述，t的取值范围为t＜1．

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本题主要考查等比关系的确定、数列的求和、不等式的解法、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．