（2013•惠州一模）已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x的方程x2−2nx+bn＝0(n∈N*)的两实根，
（2013•惠州一模）已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x的方程x2−2nx+bn＝0(n∈N*)的两实根，且a1=1．
（Ⅰ）求证：数列{an−
×2n}是等比数列；
（Ⅱ）Sn是数列{an}的前n项的和．问是否存在常数λ，使得bn＞λSn对∀n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）求证：数列{an−
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（Ⅱ）Sn是数列{an}的前n项的和．问是否存在常数λ，使得bn＞λSn对∀n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．
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解题思路：（Ⅰ）利用韦达定理，结合等比数列的定义，即可证明数列{an−
×2n}是等比数列；
（Ⅱ）分别求出bn、Sn，从而可得不等式，分类讨论，即可求出λ的取值范围．
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（Ⅱ）分别求出bn、Sn，从而可得不等式，分类讨论，即可求出λ的取值范围．
（Ⅰ）证明：∵an，an+1是关于x的方程x2−2n•x+bn＝0(n∈N*)的两实根，
∴
an+an+1＝2n
bn＝an•an+1…（2分）
∵
an+1−
1
3×2n+1
an−
1
3×2n＝
2n−an−
1
3×2n+1
an−
1
3×2n＝
−(an−
1
3×2n)
an−
1
3×2n＝−1．
故数列{an−
1
3×2n}是首项为a1−
2
3＝
1
3，公比为-1的等比数列．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an−
1
3×2n＝
1
3×(−1)n−1，即an＝
1
3[2n−(−1)n]
∴
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和．
考点点评： 本题考查等比数列的证明，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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