(2015•惠州模拟)已知数列{an}中,a1=3,前n和Sn=[1/2](n+1)(an+1)-1.

(2015•惠州模拟)已知数列{an}中,a1=3,前n和Sn=[1/2](n+1)(an+1)-1.
①求证:数列{an}是等差数列
②求数列{an}的通项公式
③设数列{[1anan+1
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liaoliao77 花朵

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解题思路:①由Sn=[1/2](n+1)(an+1)-1,得Sn+1
1
2
(n+2)(an+1+1)−1
,两式相减后整理可得nan+1=(n+1)an-1(1),则(n+1)an+2=(n+2)an+1-1(2),两式相减整理后利用等差中项公式可判断;
②由①知,nan+1=(n+1)an-1,可求得a2=2a1-1=5,又a1=3可求公差,从而可得an
③使得Tn≤M对一切正整数n恒成立,等价于Tn的最大值小于等于M,利用裂项相消法可求得Tn,进而可求得其最大值;

①∵Sn=
1/2](n+1)(an+1)-1,
∴Sn+1=
1
2(n+2)(an+1+1)−1,
∴an+1=Sn+1-Sn=[1/2[(n+2)(an+1+1)−(n+1)(an+1)],
整理得,nan+1=(n+1)an-1…(1)
∴(n+1)an+2=(n+2)an+1-1…(2)
(2)-(1),得(n+1)an+2-nan+1=(n+2)an+1-(n+1)an
∴2(n+1)an+1=(n+1)(an+2+an),
∴2an+1=an+2+an
∴数列{an}为等差数列.
②由①知,nan+1=(n+1)an-1,得a2=2a1-1=5,
又a1=3,∴a2-a1=2,即公差为2,
an=3+(n-1)×2=2n+1;
③∵
1
anan+1=
1
(2n+1)(2n+3)]=[1/2]([1/2n+1−
1
2n+3]),
∴Tn=
1
2(
1
3−
1
5+
1
5−
1
7+…+
1
2n+1−
1
2n+3)
=[1/2(
1
3−
1
2n+3),
又当n∈N*时,Tn<
1
6],
要使得Tn≤M对一切正整数n恒成立,只要M≥[1/6],
∴存在实数M使得Tn≤M对一切正整数n都成立,M的最小值为[1/6].

点评:
本题考点: 数列递推式;等差数列的通项公式;等差关系的确定;数列的求和.

考点点评: 本题考查等差关系的确定、等差数列的通项公式及数列求和,恒成立问题常转化为函数最值解决,裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容,要熟练掌握.

1年前

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