（2015•惠州模拟）已知数列{an}中，a1=3，前n和Sn=[1/2]（n+1）（an+1）-1．

解题思路：①由S_n=[1/2]（n+1）（a_n+1）-1，得Sn+1＝

1

2

(n+2)(an+1+1)−1，两式相减后整理可得na_n+1=（n+1）a_n-1（1），则（n+1）a_n+2=（n+2）a_n+1-1（2），两式相减整理后利用等差中项公式可判断；
②由①知，na_n+1=（n+1）a_n-1，可求得a₂=2a₁-1=5，又a₁=3可求公差，从而可得a_n；
③使得T_n≤M对一切正整数n恒成立，等价于T_n的最大值小于等于M，利用裂项相消法可求得T_n，进而可求得其最大值；

①∵S_n=
1/2]（n+1）（a_n+1）-1，
∴Sn+1＝
1
2(n+2)(an+1+1)−1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=[1/2[(n+2)(an+1+1)−(n+1)(an+1)]，
整理得，na_n+1=（n+1）a_n-1…（1）
∴（n+1）a_n+2=（n+2）a_n+1-1…（2）
（2）-（1），得（n+1）a_n+2-na_n+1=（n+2）a_n+1-（n+1）a_n，
∴2（n+1）a_n+1=（n+1）（a_n+2+a_n），
∴2a_n+1=a_n+2+a_n，
∴数列{a_n}为等差数列．
②由①知，na_n+1=（n+1）a_n-1，得a₂=2a₁-1=5，
又a₁=3，∴a₂-a₁=2，即公差为2，
a_n=3+（n-1）×2=2n+1；
③∵
1
anan+1＝
1
(2n+1)(2n+3)]=[1/2]（[1/2n+1−
1
2n+3]），
∴Tn＝
1
2(
1
3−
1
5+
1
5−
1
7+…+
1
2n+1−
1
2n+3)
=[1/2(
1
3−
1
2n+3)，
又当n∈N^*时，Tn＜
1
6]，
要使得T_n≤M对一切正整数n恒成立，只要M≥[1/6]，
∴存在实数M使得T_n≤M对一切正整数n都成立，M的最小值为[1/6]．

点评：
本题考点： 数列递推式；等差数列的通项公式；等差关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本题考查等差关系的确定、等差数列的通项公式及数列求和，恒成立问题常转化为函数最值解决，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．