（2009•惠州模拟）已知数列{an}、{bn}满足：a1＝14，an+bn＝1，bn+1＝bn(1−an)(1+an)

解题思路：（1）根据a1＝

1

4

，an+bn＝1，bn+1＝

bn

(1−an)(1+an)

，求出b1＝

3

4

，和bn+1＝

1

2−bn

，令n=1，2，3即可求得b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）根据bn+1＝

1

2−bn

，进行变形得到

1

bn+1−1

＝−1+

1

bn−1

，构造等差数列{

1

bn−1

}，并求出其通项，进而可求出数列{b_n}的通项公式；
（3）根据（2）结果，可以求出数列{a_n}的通项公式，然后利用裂项相消法求S_n，构造函数f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8，转化为求函数f（n）的最值问题，可求实数a的取值范围．

（1）∵a1＝
1
4，an+bn＝1，bn+1＝
bn
(1−an)(1+an)
∴b1＝
3
4，bn+1＝
1−an
(1−an)(1+an)＝
1
1+an＝
1
2−bn，
b2＝
4
5，b3＝
5
6，b4＝
6
7
（2）∵bn+1−1＝
1
2−bn−1
∴[1
bn+1−1＝
2−bn
bn−1＝−1+
1
bn−1
∴数列{
1
bn−1}是以-4为首项，-1为公差的等差数列
∴
1
bn−1＝−4−(n−1)＝−n−3
∴bn＝1−
1/n+3＝
n+2
n+3]；
（3）an＝1−bn＝
1
n+3，
∴Sn＝a1a2+a2a3+…+anan+1＝
1
4×5+

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列递推式．

考点点评： 此题是个难题．考查根据数列的递推公式利用构造法求数列的通项公式，及数列的求和问题，题目综合性强，特别是问题（3）的设置，数列与不等式恒成立问题结合起来，能有效考查学生的逻辑思维能力，体现了转化的思想和分类讨论的思想．