(2015•惠州模拟)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且a2,a5,a14分别是等比数列{bn}的b2,

(2015•惠州模拟)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且a2,a5,a14分别是等比数列{bn}的b2,b3,b4
(Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{cn}对任意自然数n均有
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn
bn
=an+1成立,求c1+c2+…+c2014的值.
bairry 1年前 已收到1个回答 我来回答 举报

nanami18 幼苗

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解题思路:(Ⅰ)依题意,a2,a5,a14成等比数列⇒(1+4d)2=(1+d)(1+13d),可求得d,继而可求得数列{an}的通项公式;由b2=a2=3,b3=a5=9,可求得q与其首项,从而可得数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知an=2n-1,bn=3n-1,由
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn
bn
=an+1,可求得c1=b1a2=3,
cn
bn
=an+1-an=2(n≥2),于是可求得数列{cn}的通项公式,继而可求得c1+c2+…+c2014的值.

(Ⅰ)∵a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,
∵a2,a5,a14成等比数列,
∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d),
解得d=2,
∴an=1+(n-1)×2=2n-1;
又b2=a2=3,b3=a5=9,
∴q=3,b1=1,
∴bn=3n-1
(Ⅱ)∵
c1
b1+
c2
b2+…+
cn
bn=an+1

c1
b1=a2,即c1=b1a2=3,

c1
b1+
c2
b2+…+
cn−1
bn−1=an(n≥2),

cn
bn=an+1-an=2(n≥2),
∴cn=2bn=2•3n-1(n≥2),
∴cn=

3,(n=1)
2•3n−1(n≥2).
∴c1+c2+…+c2014=3+2•3+2•32+…+2•32013
=3+2(3+•32+…+32013
=3+2•
3(1−32013)
1−3
=32014

点评:
本题考点: 数列的求和.

考点点评: 本题考查数列的求和,着重考查等差数列与等比数列的通项公式,考查逻辑思维与综合分析、运算能力,属于难题.

1年前

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