矩阵QR分解的证明题ORZ我又来问矩阵的问题了TT矩阵A为m*n阶矩阵,A=QR,m>n（a）证明当且仅当矩阵R中所有对

矩阵QR分解的证明题
ORZ我又来问矩阵的问题了TT
矩阵A为m*n阶矩阵,A=QR,m>n
（a）证明当且仅当矩阵R中所有对角元素非零的时候,矩阵A的秩为n
（b）假设矩阵R中有k个非零元素,k的数值的变化会对矩阵A产生什么影响?
junwen_wen 1年前 已收到1个回答 举报
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周渔的眼泪 种子

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R中所有对角元素非零 rank(R)=n rank(R^HR)=n rank(A^HA)=n rank(A)=n
至于第二个问题,这个没法回答
对于列满秩矩阵,在要求 R 的对角元为正数的前提下 QR 分解是唯一的,所以在这个条件下 k 对于 A 或者 R 的性质已经没有太直接的影响了

1年前 追问

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junwen_wen 举报

我想第二个问题既然是问R中含有若干非零元素，那么矩阵A就是奇异矩阵了。是不是矩阵R中非零对角元素的数目就是矩阵A的秩呀？

举报 周渔的眼泪

"R中含有若干非零元素"不说明问题，可逆不可逆主要看对角元
R＝I的时候只有n个非零元，但是可逆
R＝
1 1 ... 1 1
0 1 ... 1 1
......
0 0 ... 1 1
0 0 ... 0 0
有n(n+1)/2-1个非零元，但是不可逆

junwen_wen 举报

那么对于矩阵R来说，对角元的非零个数对矩阵A的秩会有什么影响呢？

举报 周渔的眼泪

多少有点影响，但不会很大
能够说明的是，如果R有k个非零对角元，那么rank(A)至少是k
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你能帮帮他们吗

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