（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
| （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分） 设椭圆的中心为原点 O ，长轴在 x 轴上，上顶点为 A ，左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ，线段 OF 1 、 OF 2 的中点分别为 B 1 、 B 2 ，且△ AB 1 B 2 是面积为  的直角三角形．过 Ｂ 1 作直线 l 交椭圆于 P 、 Q 两点．(1) 求该椭圆的标准方程； (2) 若  ，求直线 l 的方程；(3) 设直线 l 与圆 O ： x 2 + y 2 =8相交于 M 、 N 两点，令| MN |的长度为 t ，若 t ∈  ，求△ B 2 PQ 的面积 的取值范围． |
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（1）
；（2） x +2 y +2=0和 x –2 y +2=0；（3）
。
试题分析：（1）设所求椭圆的标准方程为
,右焦点为
.
因△ AB 1 B 2 是直角三角形，又| AB 1 |=| AB 2 |，故∠ B 1 AB 2 =90º，得 c =2 b …………1分
在Rt△ AB 1 B 2 中，
，从而
.………………3分
因此所求椭圆的标准方程为： …………………………………………4分
(2)由(1)知
,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为：
,代入椭圆方程得
,…………………………6分
设 P ( x 1 , y 1 )、 Q ( x 2 , y 2 )，则 y 1 、 y 2 是上面方程的两根，因此
，
，又
，所以
………………………………8分
由
，得
=0，即
，解得
；
所以满足条件的直线有两条,其方程分别为： x +2 y +2=0和 x –2 y +2=0……………………10分
(3) 当斜率不存在时，直线
，此时
，
………………11分
当斜率存在时，设直线 
，则圆心
到直线的距离
，
因此 t=
，得
………………………………………13分
联立方程组：
得
，由韦达定理知，
，所以
，
因此
.
设
，所以
，所以
…15分
综上所述：△ B 2 PQ 的面积 ……………
；（2） x +2 y +2=0和 x –2 y +2=0；（3）
。 试题分析：（1）设所求椭圆的标准方程为
,右焦点为
. 因△ AB 1 B 2 是直角三角形，又| AB 1 |=| AB 2 |，故∠ B 1 AB 2 =90º，得 c =2 b …………1分
在Rt△ AB 1 B 2 中，
，从而
.………………3分因此所求椭圆的标准方程为：
…………………………………………4分(2)由(1)知
,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为：
,代入椭圆方程得
,…………………………6分设 P ( x 1 , y 1 )、 Q ( x 2 , y 2 )，则 y 1 、 y 2 是上面方程的两根，因此
，
，又
，所以 
………………………………8分由
，得
=0，即
，解得
；所以满足条件的直线有两条,其方程分别为： x +2 y +2=0和 x –2 y +2=0……………………10分
(3) 当斜率不存在时，直线
，此时
，
………………11分当斜率存在时，设直线
，则圆心
到直线的距离
，因此 t=
，得
………………………………………13分联立方程组：
得
，由韦达定理知，
，所以
，因此
. 设
，所以
，所以
…15分综上所述：△ B 2 PQ 的面积
……………
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