已知函数y=1+2a(sinθ−cosθ)a2+2acosθ+2（a，θ∈R，a≠0），那么对于任意的a，θ，则此函数的

y=1+
2a(sinθ−cosθ)
a2+2acosθ+2=
a2+2asinθ+2
a2+2acosθ+2，
设t=
a2+2asinθ+2
a2+2acosθ+2，
则2atcosθ-2asinθ+（t-1）（a²+2）=0，
设x=cosθ，y=sinθ，则P（x，y）的轨迹为圆x²+y²=1，
即直线2atx-2ay+（t-1）（a²+2）=0与圆x²+y²=1有公共点，
即
|t−1|(a2+2)
2|a|•
t2+1≤1，
整理得
|t−1|

t2+1≤
2|a|
a2+1≤
2|a|
2
2|a|＝
1

2，
于是
|t−1|

t2+1≤
1

2，
得t²-4t+1≤0，
解得2-
3≤t≤2+
3．
∴函数y的最大值为2+
3，最小值为2-
3，
则函数的最大值与最小值之和为2+
3+2-
3=4，
故答案为：4

点评：
本题考点： 函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本题考查三角函数的最值，着重考查直线与圆的位置关系，突出等价转化思想与综合运算能力，属于难题．