已知函数f（x）=cos（2x+ π 3 ）+sin 2 x-cos 2 x+2 3 sinx•cosx

f（x）=
1
2 cos2x-

3
2 sin2x-cos2x+
3 sin2x…（2分）
=

3
2 sin2x-
1
2 cos2x=sin（2x-
π
6 ）…（3分）
（1）令
π
2 +2kπ≤2x-
π
6 ≤
3π
2 +2kπ，解得
π
3 +kπ≤x≤
5π
6 +kπ…（5分）
∴f（x）的减区间是[
π
3 +kπ，
5π
6 +kπ]（k∈Z） …（6分）
（2）∵x∈[0，
π
2 ]，∴2x-
π
6 ∈[-
π
6 ，
5π
6 ]，…（7分）
∴当2x-
π
6 =-
π
6 ，即x=0时，f（x） _min =-
1
2 ，…（8分）
当2x-
π
6 =
π
2 ，即x=
π
3 时，f（x） _max =1 …（9分）
（3）f（α）=sin（2α-
π
6 ）=
1
7 ，2α是第一象限角，即2kπ＜2α＜
π
2 +2kπ
∴2kπ-
π
6 ＜2α-
π
6 ＜
π
3 +2kπ，∴cos（2α-
π
6 ）=
4
3
7 ，…（11分）
∴sin2α=sin[（2α-
π
6 ）+
π
6 ]=sin（2α-
π
6 ）•cos
π
6 +cos（2α-
π
6 ）•sin
π
6 …（12分）
=
1
7 ×

3
2 +
4
3
7 ×
1
2 =
5
3
14 …（14分）