（2014•成都三模）形如y=x 1xα（x＞0）的函数称为“幂指型函数”，它的求导过程可概括成：取对数--两

①当α=1时，函数y=x
1
xα（x＞0）即y=x
1
x，则lny=[1/x]lnx，[1/y]y′=

1
x•x-lnx
x2，
故导函数是y′=[1-lnx
x2x
1/x]（x＞0）故①正确；
②当α＞0时，函数y=x
1
xα（x＞0），lny=[1
xαlnx，
1/y]y′=
xα-1-lnx•α•xα-1
x2α，
故导函数是y′=x
1
xα•
1-αlnx
xα+1，令y′＞0，则0＜x＜e
1
α，y′＜0，则x＞e
1
α；故②正确；
③当b
1
α＞e
1
e时，方程b^x=x^α（b＞0，b≠1，α≠0，x＞0）即b
1
α=x
1
x，
由①知，y=x
1
x的导函数是y′=[1-lnx
x2x

点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用；指数型复合函数的性质及应用．

考点点评： 本题主要考查“幂指型函数”的求导和应用，考查函数的单调性和最值，以及方程的根和函数的零点的关系，考查转化思想，属于中档题．

1年前

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