（2014•成都三模）已知函数f（x）=lnx-x-1．

解题思路：（Ⅰ）先求出函数的导数，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的极值，
（Ⅱ）①易知等价于证明：∃x₀∈（1，+∞），f（x₀）-f（[1/2]）=0，令K（x）=f（x）-f（[1/2]），求出K（x）在（1，+∞）递减，由K（1）＞1，K（e）＜0，
从而得出∃唯一的x₀∈（1，e），使得K（x₀）=0，②易知F（x）=lnx，H（x）=e^x，得出m＜

xex+1

ex−1

，令G（x）=

xex+1

ex−1

，x＞0，通过求导得出G（x）的最小值，进而求出m的最大值．

（Ⅰ）由f′（x）=[1/x]-1=0，解得：x=1，
x＞1时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）递减，
0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）递增，
∴f（x）_极大值=f（1）=-2；
（Ⅱ）①易知等价于证明：∃x₀∈（1，+∞），f（x₀）-f（[1/2]）=0，
令K（x）=f（x）-f（[1/2]），
则K（x）=lnx-x+ln2+[1/2]，x＞1，
当x∈（1，+∞）时，K′（x）=[1/x]-1＜0，
∴K（x）在（1，+∞）递减，
又∵K（1）＞1，K（e）＜0，
∴∃唯一的x₀∈（1，e），使得K（x₀）=0，
②易知F（x）=lnx，H（x）=e^x，
∴m（e^x-1）-e^x，x＜1，
∵x＞0，∴e^x-1＞0，
∴m＜
xex+1
ex−1，
令G（x）=
xex+1
ex−1，x＞0，
∴G′（x）=
ex(ex−x−2)
(ex−1)2，
再令R（x）=e^x-x-2，x＞0，
当x＞0时，R′（x）=e^x-1＞0，
∴R（x）=e^x-x-2在x＞0上递增，
易知R（1）=e-3＜0，R（2）=e²-4＞0，
∴∃x₁∈（1，2），使R（x₁）=0，即ex1=x₁+2，
当x∈（0，x₁ ）时，R（x）＜0，G′（x）＜0，
当x∈（x₁，+∞）时，R（x）＞0，G′（x）＞0，
∴G（x）_最小值=G（x₁ ）=x₁+1，
又∵x₁∈（1，2），∴2＜G（x₁ ）＜3，
∴整数m的最大值为2．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，新定义的应用，是一道综合题．