如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠DAB为直角,AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠DAB为直角,AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点． （Ⅰ
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠DAB为直角,AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点．
（Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF；
（Ⅱ）设PA=k•AB,且二面角E-BD-C的平面角大于45°,求k的取值范围．
用几何的方法解第二问，不能用空间向量的啊。
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠DAB为直角,AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点．
（Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF；
（Ⅱ）设PA=k•AB,且二面角E-BD-C的平面角大于45°,求k的取值范围．
用几何的方法解第二问，不能用空间向量的啊。
赞 鹿寨大王 幼苗
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（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且∠DAD为直角,
故ABFD是矩形,从而AB⊥BF．
又PA⊥底面ABCD,
所以平面PAD⊥平面ABCD,
因为AB⊥AD,故AB⊥平面PAD,
所以AB⊥PD,
在△PDC内,E、F分别是PC、CD的中点,EF∥PD,所以AB⊥EF．
由此得AB⊥平面BEF．
（Ⅱ）以A为原点,以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系,
设AB的长为1,则BD=（-1,2,0）,BE=（0,1 k2）
设平面CDB的法向量为 m1¯=(0,0,1),平面EDB的法向量为 m2¯=(x,y,z),
则 {m2¯•BD¯=0m2¯•BE¯=0
∴ {-x+2y=0y+kz2=0,取y=1,可得 m2=(2,1,-2k)
设二面角E-BD-C的大小为θ,
则cosθ=|cos＜m1,m2＞|═ 2k22+1+4k2＜22
化简得 k2＞45,则 k＞255．
故ABFD是矩形,从而AB⊥BF．
又PA⊥底面ABCD,
所以平面PAD⊥平面ABCD,
因为AB⊥AD,故AB⊥平面PAD,
所以AB⊥PD,
在△PDC内,E、F分别是PC、CD的中点,EF∥PD,所以AB⊥EF．
由此得AB⊥平面BEF．
（Ⅱ）以A为原点,以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系,
设AB的长为1,则BD=（-1,2,0）,BE=（0,1 k2）
设平面CDB的法向量为 m1¯=(0,0,1),平面EDB的法向量为 m2¯=(x,y,z),
则 {m2¯•BD¯=0m2¯•BE¯=0
∴ {-x+2y=0y+kz2=0,取y=1,可得 m2=(2,1,-2k)
设二面角E-BD-C的大小为θ,
则cosθ=|cos＜m1,m2＞|═ 2k22+1+4k2＜22
化简得 k2＞45,则 k＞255．
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