已知x>0,y>0,x+y=1,求证x^4+y^4大于等于1/8

因为 (x-y)的平方≥0(任何一个数的平方肯定大于等于0) 即 x^2-2xy+y^2≥0 所以 x^2+y^2≥2xy(要牢记这个公式) 不等式两边同时加上(x^2+y^2)得 x^2+y^2+(x^2+y^2)≥2xy+(x^2+y^2) 即 2(x^2+y^2)≥(x+y)^2 *******(这里是根据(x+y)的平方=2xy+x^2+y^2的公式 又因为x+y=1 所以 2(x^2+y^2)≥1 即 x^2+y^2≥1/2 同理 x^4+y^4=(x^2)的平方+(y^2)的平方≥2(x^2)(y^2) 不等式两边同时加(x^2)的平方+(y^2)的平方得 2[(x^2)的平方+(y^2)的平方]≥2(x^2)(y^2)+[(x^2)的平方+(y^2)的平方] 即 2[(x^2)的平方+(y^2)的平方]≥[(x^2)+(y^2)]的平方 又因为 x^2+y^2≥1/2 2[(x^2)的平方+(y^2)的平方]≥[(x^2)+(y^2)]的平方≥1/2的平方 2[(x^2)的平方+(y^2)的平方]≥1/4 即 X的四次方+Y的四次方大等于1/8

x^4+y^4>=[(x^2+y^2)]^2/2>=[{(x+y)/2}^2]/2=(x+y)^2/8=1/8