已知sinθ，sinx，cosθ成等差数列，sinθ，siny，cosθ成等比数列．证明：2cos2x=cos2y．

解题思路：利用等差数列的定义和性质，等比数列的定义和性质可得，sinθ+cosθ=2sinx，sinθcosθ=sin²y，再利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式证得不等式成立．

证明：∵sinθ与cosθ的等差中项是sinx，等比中项是siny，
∴sinθ+cosθ=2sinx，①sinθcosθ=sin²y，②…（4分）
①²-②×2，可得（sinθ+cosθ）²-2sinθcosθ=4sin²x-2sin²y，即4sin²x-2sin²y=1．
∴4×
1−cos2x
2−2×
1−cos2y
2＝1，即2-2cos2x-（1-cos2y）=1．
故证得2cos2x=cos2y．…（8分）

点评：
本题考点： 分析法和综合法；等差数列的性质；等比数列的性质．

考点点评： 本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的定义和性质，同角三角函数的基本关系、及二倍角公式的应用，属于中档题．

由sinθ sinα cosθ成等差数列,sinθ sinβ cosθ为等比数列
得:2sinα=sinθ+cosθ (1)
sinβ^2=sinθcosθ (2)
(1)的平方-(2)的2倍为1,得:4sinα^2-2sinβ^2=1
2siα^2-2sinβ^2=1-2snα^2=COS2α
用降幂扩角公式:1-cos2α-(1-cos2β)=COS2α
整理以下就OK了,完毕.

因为sinθ sinα cosθ成等差数列，所以2sinα=sinθ+cosθ
两边同时平方得：4(sinα)^2=1+2sinθcosθ
又sinθ sinβ cosθ为等比数列，所以(sinβ)^2=sinθcosθ
所以4(sinα)^2=1+2sinθcosθ=1+2(sinβ)^2
由二倍角公式得：(sinα)^2=(1-cos2α)/2,(sinβ)^2...

由题意2sinα=sinθ+cosθ...①,(sinβ)^2=sinθcosθ...②
①^2-2②得
(sinθ+cosθ)^2-2sinθcosθ=(sinθ)^2+(cosθ)^2=1
=(2sinα)^2-2(sinβ)^2=4(sinα)^2-2(sinβ)^2
=4(1-cos2α)2-2(1-cos2β)/2=1
所以2cos2α=cos2β