一个袋中装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每次随机取1个，直到取出3次红球即停止．
一个袋中装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每次随机取1个，直到取出3次红球即停止．
（Ⅰ）从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P1；
（Ⅱ）从袋中有放回地取球．
①求恰好取5次停止的概率P2；
②记5次之内（含5次）取到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
（Ⅰ）从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P1；
（Ⅱ）从袋中有放回地取球．
①求恰好取5次停止的概率P2；
②记5次之内（含5次）取到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
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解题思路：（Ⅰ）利用古典概型的概率计算公式能求出恰好取4次停止的概率P1．（Ⅱ）①利用n次独立重复试验概率公式能求出恰好取5次停止的概率P2．②由题意知随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分别求出相对应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及数学期望．
（Ⅰ）恰好取4次停止的概率P1=
C13C16A33
A49=[1/28]．
（Ⅱ）①恰好取5次停止的概率P2=
C24×(
1
3)2×(
2
3)2×
1
3=[8/81]．
②由题意知随机变量ξ的取值为0，1，2，3，
由n次独立重复试验概率公式Pn（k）=
Cknpk(1−p)n−k，得
P（ξ=0）=
C05×(1−
1
3)5=[32/243]，
P（ξ=1）=
C15×
1
3×(1−
1
3)4=[80/243]，
P（ξ=2）=
C25×(
1
3)2(1−
1
3)3 =[80/243]，
ξ=3这个事件包括了三种情况，第一种取三次取到全是红球，第二种取四次取到三次红球，此时，第四次一定取到红球，前三次两次取到红球，第三种取五次取到三个红球，第五次取到的是红球，前四次取到两次红球，故有
P（ξ=3）=(
1
3)3+
C13×(
1
3)3×(1−
1
3)+
C24×(
1
3)3×(1−
1
3)2=[51/243]，
∴ξ的分布列为：
ξ01 23
P [32/243] [80/243][80/243] [51/243]∴Eξ=0×
32
243+1×
80
243+2×
80
243+3×
51
243=[131/81]．
点评：
本题考点： 离散型随机变量的期望与方差；排列、组合及简单计数问题．
考点点评： 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意n次独立重复试验概率公式的灵活运用．
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