已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上,且满足PA*PB=0,PB*PC=0,PC*PA=0,则三棱锥P-A

你可以在球内画一个内接长方体,一个顶点设为P,与P相邻的三点为A、B、C.
∵PA*PB=0,PB*PC=0,PC*PA=0,
∴PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA.
设PA=a,PB=b,PC=c,则侧面积(ab+bc+ca)/2.
∵ab≤（a^2+b^2）/2,
bc≤（b^2+c^2）/2,
ca≤（c^2+a^2）/2,(均值不等式)
∴ab+bc+ca≤a^2+b^2+c^2.
又a^2+b^2+c^2=以PA、PB、PC为邻边的长方体的对角线长的平方（长方体对角线定理）,即求的直径,∴a^2+b^2+c^2=4,
∴侧面积的最大值为4/2=2.
等号成立当且仅当a=b=c.

三棱锥p-abc相当于在长方体内，设三边分别为abc，侧面积为1/2（ab+bc+ac）,所以，且a方+b方+c方=4，再用柯西不等式（a方+b方+c方）*（b方+c方+a方）>=
（ab+bc+ac）的平方,可解得最大值。