已知圆 经过 ， 两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2.

已知圆 经过 ， 两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2.
（1）求圆 的方程；
（2）若 为圆内一点，求经过点 被圆 截得的弦长最短时的直线 的方程.
（1） ；（2） .


试题分析：（1）设所求圆的一般方程为 ，再令 、 ，分别求出圆在 轴、 轴上的截距之和，再有已知圆两坐标轴上的四个截距之和为2.得出 的关系式，由于 ， 两点在圆上，联立方程组，解方程组求出系数 ，从而求得圆的方程；（2）考查圆的最短弦，实际上当直线 过定点 且与过此点的圆的半径垂直时， 被圆截得的弦长最短，求出直线 的斜率，再由直线方程的点斜式求出方程.
试题解析：（1）设圆 的方程为 ，
令 ，得 ，则圆在 轴上的截距之和为 ；
令 ，得 ，则圆在 轴上的截距之和为 ；
由题意有 ，即 ，又 ， 两点在圆上，
，解得 ，故所求圆 的方程为 .
（2）由（1）知，圆 的方程为 ，圆心为 ，
当直线 过定点 且与过此点的圆的半径垂直时， 被圆截得的弦长最短，
此时 ， ，
于是直线 的方程为 ，即 .