已知函数f（x）=ax2-2x+lnx

解题思路：（Ⅰ）首先，x＞0f/(x)＝2ax−2+

1

x

＝

2ax2−2x+1

x

利用f′（x）有零点而f（x）无极值点，表明该零点左右f′（x）同号，故△=0．由此可得a＝

1

2

即可；
（Ⅱ）先由题意，2ax²-2x+1=0有两不同的正根，故△＞0，解得：0＜a＜

1

2

，再设2ax²-2x+1=0的两根为x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，利用导数研究函数f（x）的极值点，从而得出证明．

解 （Ⅰ）首先，x＞0f/(x)＝2ax−2+
1
x＝
2ax2−2x+1
x
f′（x）有零点而f（x）无极值点，表明该零点左右f′（x）同号，故a≠0，且2ax²-2x+1=0的△=0．由此可得a＝
1
2
（Ⅱ）由题意，2ax²-2x+1=0有两不同的正根，故△＞0，a＞0．
解得：0＜a＜
1
2
设2ax²-2x+1=0的两根为x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，
因为在区间（0，x₁），（x₂，+∞）上，f′（x）＞0，
而在区间（x₁，x₂）上，f′（x）＜0，故x₂是f（x）的极小值点．
因f（x）在区间（x₁，x₂）上f（x）是减函数，如能证明f(
x1+x2
2)＜−
3
2，则更有f(x2)＜−
3
2
由韦达定理，
x1+x2
2＝
1
2a，f(
1
2a)＝a(
1
2a)2−2(
1
2a)+ln
1
2a＝ln
1
2a−
3
2•
1
2a
令[1/2a＝t，其中设g(t)＝lnt−
3
2t+
3
2]，
利用导数容易证明g（t）当t＞1时单调递减，而g（1）=0，
∴g（t）=lnt-[3/2] t+[3/2]＜0，
因此f（[1/2a]）＜-[3/2]，
从而有f（x）的极小值f（x₂）＜-[3/2]．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值．

考点点评： 解决本题时要注意题目中所应用的函数的思想，要使的函数无极值点，表明该零点左右f′（x）同号即可，这种思想经常用到．

(1)函数在定义域内连续，图形（因为有导函数）光滑，但无极值点，说明f ’（x）=0只有唯一解。
也就是f ‘（x）= - 2 + 1/x + 2 a x =0有唯一解；
第一种情况：a不等于0时，x == (1 ± Sqrt[1 - 2 a])/(2 a)，由于有唯一解，故1-2a=0，a=1/2
第二种情况：如果a=0，则x==1/2但此时，f ''(1/2)=-4<0...

F’（x)＝(2ax^2-2x+1)/x
(1)F(x)无极值点，但其导函数F’（x)有零点，只要分子判别式为0即可。解得a＝1
(2)f（x）有两个极值点，则a不等于0 且 判别式大于零，解得a小于1且不等于0
然后讨论开口方向，画图，注意两根大小关系（分母的a正负在变）
写出单调区间，即可求得极小值
具体过程就不写了，sorry...