已知函数f（x）=[1/2]ax2+2x，g（x）=lnx．

（1）当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，符合题意．
当a≠0时，y=f（x）的对称轴方程为x=-[2/a]，
由于y=f（x）在[1，+∞）上是单调函数，所以-[2/a]≤1，解得a≤-2或a＞0，
综上，a的取值范围是a≥0，或a≤-2．
（2）T（x）=[lnx/x]-（ax+2）+（2a+1），函数T（x）在区间（[1/e]，e）内有两个不同的零点，
∴T（x）=0，即方程ax²+（1-2a）x-lnx=0在区间（[1/e]，e）内有两个不同的实根，
设H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx （x＞0）
H′（x）=2ax+（1-2a）-[1/x]=
2ax2+(1−2a)x−1
x=
(2ax+1)(x−1)
x
令H′（x）=0，因a为正数，解得x=1或x=-[1/2a]（舍）
当x∈（[1/e]，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，
当x∈（1，e）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，
为满足题意，只需H（x）在（[1/e]，e）内有两个不相等的零点，故


H(
1
e)＞0
H(x)min＝H(1)＜0
H(e)＞0

解得1＜a＜
e2+e
2e−1