已知函数f（x）=lnx，g（x）=[1/2]ax2-2x

（Ι）令h(x)＝f(x)−g(x)＝lnx−
1
2ax2+2x，h′(x)＝
1
x−ax+2
依题意，h′(
1
2)＝h′(1)，解之，a=-2
（Ⅱ） 依题意，h′(x)＝
1
x−ax+2≤0，∀x∈(
1
3，1)恒成立，
a≥
1
x2+
2
x，
∵[1/x∈(1，3)∴a≥15
（Ⅲ）∵f′(x)＝
1
x，g′(x)＝ax−2，
假设有可能平行，
则存在a使f′(
x1+x2
2)＝g′(
x1+x2
2)，
2
x1+x2＝
a
2(x1+x2)−2，

2(x1−x2)
x1+x2＝
a
2(x1+x2)(x1−x2)−2(x1−x2)
2(x1−x2)
x1+x2]=(
1
2ax12−2x1)−(
1
2ax22−2x2)lnx₁=
1
2ax12−2x1，lnx₂=
1
2ax22−2x2，
2(x1−x2)
x1+x2=lnx₁-lnx₂=ln
x1
x2，
不妨设x1＞x2＞0，t＝
x1
x2＞1
2(t−1)
t+1＝lnt存在大于1的实根，
φ（t）=
2(t−1)
t+1−lntφ′(t)＝
−(t−1)2
t(t+1)2＜0，φ（t）是减函数，
∴φ（t）＜φ（1）=0，这与存在t＞1使φ（t）=0矛盾，
故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不可能平行．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查导数的应用，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．