线性代数二次型f(x1,x2,x3)=x(倒置)Ax在正交变换x=Qy下的标准型为y1^2+y2^2,且Q的第三列为1/
线性代数
二次型f(x1,x2,x3)=x(倒置)Ax在正交变换x=Qy下的标准型为y1^2+y2^2,且Q的第三列为1/2(√2,0,√2)(倒置)
(1)求矩阵A
(2)证明A+E为正定阵,其中E味3阶单位矩阵
刘老师,再给你加20分,
二次型f(x1,x2,x3)=x(倒置)Ax在正交变换x=Qy下的标准型为y1^2+y2^2,且Q的第三列为1/2(√2,0,√2)(倒置)
(1)求矩阵A
(2)证明A+E为正定阵,其中E味3阶单位矩阵
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解: 由已知,A的特征值为1,1,0
且a3=1/2(√2,0,√2)^T=(1/√2,0,1/√2)^T是属于特征值0的特征向量
(1)由于属于对称矩阵的不同特征值的特征向量正交
所以属于特征值1的特征向量(x1,x2,x3)^T满足x1+x3=0
其基础解系为 (0,1,0)^T,(1,0,-1)^T
单位化得 (0,1,0)^T,(1/√2,0,-1/√2)^T
令P=
0 1/√2 1/√2
1 0 0
0 -1/√2 1/√2
则P为正交矩阵, 且P^-1AP=diag(1,1,0)
所以 A=Pdiag(1,1,0)P^T=
1/2 0 -1/2
0 1 0
-1/2 0 1/2
(2)因为A的特征值为1,1,0
所以A+E的特征值为2,2,1
所以A+E是正定矩阵.
且a3=1/2(√2,0,√2)^T=(1/√2,0,1/√2)^T是属于特征值0的特征向量
(1)由于属于对称矩阵的不同特征值的特征向量正交
所以属于特征值1的特征向量(x1,x2,x3)^T满足x1+x3=0
其基础解系为 (0,1,0)^T,(1,0,-1)^T
单位化得 (0,1,0)^T,(1/√2,0,-1/√2)^T
令P=
0 1/√2 1/√2
1 0 0
0 -1/√2 1/√2
则P为正交矩阵, 且P^-1AP=diag(1,1,0)
所以 A=Pdiag(1,1,0)P^T=
1/2 0 -1/2
0 1 0
-1/2 0 1/2
(2)因为A的特征值为1,1,0
所以A+E的特征值为2,2,1
所以A+E是正定矩阵.
1年前 追问
8
不是随便取的, 是取的基础解系(且正交) 最后这3个特征向量是两两正交的
这没关系, x1+x3=0 的基础解系不唯一 所以满足 P^-1AP = diag(1,1,0) 的 P 不是唯一的 只要P的列向量分别是1,1,0的线性无关的特征向量就可以 在这种情况下, 当然找比较简单的好
P^-1AP = diag(1,1,0) AP=Pdiag(1,1,0) A(p1,p2,p3) = (p1,p2,p3)diag(1,1,0) (Ap1,Ap2,Ap3) = (p1,p2,0) Ap1=p1, Ap2=p2, Ap3=0=0p3 即教材中矩阵相似对角化的一般推导过程
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[考研 线性代数]设三元二次型f(x1,x2,x3)=x^TAx
1年前1个回答
你能帮帮他们吗