[考研 线性代数]设三元二次型f(x1,x2,x3)=x^TAx
[考研 线性代数]设三元二次型f(x1,x2,x3)=x^TAx
设三元二次型f(x1,x2,x3)=x^TAx的矩阵A满足A^2+2A=O,且a1=（0,1,1）^T是齐次方程组Ax=0的基础解系.求二次型f的表达式.
设三元二次型f(x1,x2,x3)=x^TAx的矩阵A满足A^2+2A=O,且a1=（0,1,1）^T是齐次方程组Ax=0的基础解系.求二次型f的表达式.
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矩阵A满足A^2+2A=O,则矩阵A的特征值只能是0和-2,而根据Ax=0的基础解系的结构是一个向量,则A的秩是2,因此矩阵A的特征值只能是-2,-2,0,则二次型表达式f(x1,x2,x3)= -2*x1^2-2*x2^2
1年前 追问
9
根据二次型矩阵的性质
令A=a d e
d b f
e f c
a+b+c=-2-2+0=-4
A*a1=0
====>d+e=0,b+f=0,f+c=0
====>-f=b=c，e=-d
那么得A=-4-2b d -d
d b -b
-d -b b
又|A|=0,且A的秩为2，特征值为-2，-2，0
xE-A=x+4+2b -d +d
-d x-b x+b
+d x+b x-b
当x=-2
2+2b -d d
-d -2-b -2+b
d -2+b -2-b
2+2b 0 0
-d 0 0=====>秩为1，只有b=-1，d=0
0 -4 -4
当x=0
4+2b -d +d
-d -b +b
+d +b -b
4+2b -d d
-d -b b=====>秩为2,d^2+2b^2+4b/=0
0 0 0
综上a=-2,b=c=-1,d=e=0,f=1
A=-2 0 0
0 -1 1
0 1 -1
f(x1,x2,x3)=-2x1^2-x2^2-x3^2+2x2x3，
题目真的不简单，哪里看到的题？
令A=a d e
d b f
e f c
a+b+c=-2-2+0=-4
A*a1=0
====>d+e=0,b+f=0,f+c=0
====>-f=b=c，e=-d
那么得A=-4-2b d -d
d b -b
-d -b b
又|A|=0,且A的秩为2，特征值为-2，-2，0
xE-A=x+4+2b -d +d
-d x-b x+b
+d x+b x-b
当x=-2
2+2b -d d
-d -2-b -2+b
d -2+b -2-b
2+2b 0 0
-d 0 0=====>秩为1，只有b=-1，d=0
0 -4 -4
当x=0
4+2b -d +d
-d -b +b
+d +b -b
4+2b -d d
-d -b b=====>秩为2,d^2+2b^2+4b/=0
0 0 0
综上a=-2,b=c=-1,d=e=0,f=1
A=-2 0 0
0 -1 1
0 1 -1
f(x1,x2,x3)=-2x1^2-x2^2-x3^2+2x2x3，
题目真的不简单，哪里看到的题？
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