椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)离心率根2/2,过原点O斜率为1直线与椭圆C相交於M,N两点,椭
椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)离心率根2/2,过原点O斜率为1直线与椭圆C相交於M,N两点,椭圆右焦点F到直线l的距离为根2
（1）求椭圆C的方程
（2）设P是椭圆上异于M,N外的一点,当直线PM,PN的斜率存在且不为零时,记直线PM的斜率为k1,直线PN的斜率为k2,试探究k1*k2是否为定值?若是,求出定值：若不是,说明理由
（1）求椭圆C的方程
（2）设P是椭圆上异于M,N外的一点,当直线PM,PN的斜率存在且不为零时,记直线PM的斜率为k1,直线PN的斜率为k2,试探究k1*k2是否为定值?若是,求出定值：若不是,说明理由
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(1)直线MN:y=x.
∵椭圆右焦点F到直线l的距离为根2∴c=2
∵离心率根2/2,∴c/a=根号2/2∴a=2根号2∴b²=a²-c²=4
故椭圆:x^2/8+y^2/4=1
(2)定值
直线y=x与椭圆的交点M1(2/3根号6,2/3根号6) M2(-2/3根号6,-2/3根号6)
设P(x,y).则x²=8-2y²
k1*k2=(y-2/3根号6)/(x-2/3根号6)*(y+2/3根号6)/(x+2/3根号6)
=(y²-8/3)/(x²-8/3)
=(y²-8/3)/(8-2y²-8/3)
=(y²-8/3)/[-2(y²-8/3)]
=-1/2
∵椭圆右焦点F到直线l的距离为根2∴c=2
∵离心率根2/2,∴c/a=根号2/2∴a=2根号2∴b²=a²-c²=4
故椭圆:x^2/8+y^2/4=1
(2)定值
直线y=x与椭圆的交点M1(2/3根号6,2/3根号6) M2(-2/3根号6,-2/3根号6)
设P(x,y).则x²=8-2y²
k1*k2=(y-2/3根号6)/(x-2/3根号6)*(y+2/3根号6)/(x+2/3根号6)
=(y²-8/3)/(x²-8/3)
=(y²-8/3)/(8-2y²-8/3)
=(y²-8/3)/[-2(y²-8/3)]
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