一道线性代数证明题A是n阶矩阵,=0,A-E!=0 求证：r(A)+r(A-E)=n ==> A(A-E)=0

证:
记a1,a2.ap 为AX=0的解空间的一组基
b1,b2.bq 为(A-E)X=0的解空间的一组基
由r(A)+r(A-E)=n,则p+q=n
下面来证明a1,a2.ap,b1,b2.bq线性无关,这样这n个线性无关的向量组成一组n维空间的一组基.
假设a1,a2.ap,b1,b2.bq线性相关,则存在一组系数k1,k2...kn ∈Z 使得
k1*a1+k2*a2+...kp*ap+k(p+1)*b1+k(p+2)*b2+.kn*bq=0 .(1)
等式两边同时左乘(A-E),由于(A-E)bi=0; (A-E)ai=A*ai-ai=-ai;
所以由(1)式可得
-k1*a1-k2*a2+.(-kp)*ap=0 a1..ap线型相关,违反其是一组p维子空间基的设定.所以原命题成立,即a1.bq是n维空间一组基.
所以n维空间任一向量c可以表示为这组基的线性组合
c=t1*a1+t2*a2+...tp*ap+t(p+1)*b1+t(p+2)*b2+.tn*bq .(2)
下面来证明最终的命题A(A-E)=0
只要证明对任何一个n维向量c,A(A-E)c=0.
由(2)得
A(A-E)c=A(A-E)*t1*a1+A(A-E)*t2*a2+.A(A-E)*tn*bq
A(A-E)*ti*bj=A(ti*(A-E)bj)=0
而A(A-E)=A*A+A=(A-E)*A,对这两个矩阵特别地交换是成立的.
所以对于aj项
A(A-E)*ti*aj=(A-E)A*ti*aj=(A-E)(ti*A*aj)=0
所以A(A-E)c=0成立.
故A(A-E)=0
其实我不太清楚为什么要规定A!=0,A-E!=0 ,其实这两个任何一个为0,A(A-E)=0直接成立