如图所示在三角形ABC中,AC=BC=2,D是BC边上的中点,E是AB边上的一个动点,则 EC+ED的最小值是
如图所示在三角形ABC中,AC=BC=2,D是BC边上的中点,E是AB边上的一个动点,则
EC+ED的最小值是.（详细过程）
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过D作DP⊥AB ,P为垂足；再将DP 延长一倍至F,使PF=DP；连接CF与AB相交于E,那么
这个位置就是使EC+ED最小的位置；此时：
EC+ED=EC+EF=CF=√[CD²+DF²-2CD×DFcos∠CDF]
其中,CD=1,DF=2DP=2DBcos45°=√2,cos∠CDF=cos135°=-cos45°=-√2/2,代入上式即得：(EC+ED)min=CF=√[1+2+2×1×(√2)×(√2)/2]=√(1+2+2)=√5
下面证明√5是EC+ED的最小值.
现在偏离所取的位置在AB上任找一点E′,连接CE′,DE′,FE′,按作图法,AB是DF的垂直平分线,故CE′+DE′=CE′+FE′>CF=√5(CE′E是三角形,三角形两边之和必大于第三边).
这个位置就是使EC+ED最小的位置；此时：
EC+ED=EC+EF=CF=√[CD²+DF²-2CD×DFcos∠CDF]
其中,CD=1,DF=2DP=2DBcos45°=√2,cos∠CDF=cos135°=-cos45°=-√2/2,代入上式即得：(EC+ED)min=CF=√[1+2+2×1×(√2)×(√2)/2]=√(1+2+2)=√5
下面证明√5是EC+ED的最小值.
现在偏离所取的位置在AB上任找一点E′,连接CE′,DE′,FE′,按作图法,AB是DF的垂直平分线,故CE′+DE′=CE′+FE′>CF=√5(CE′E是三角形,三角形两边之和必大于第三边).
1年前
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