求不定积分∫dx/(ax^2+b)^n 的精确表达式,辛苦了,但是得在12号晚上*点以前有悬赏

∫dx/(ax^2+b)^n=x/[2b(n-1)(ax^2+b)^(n-1)]+(2n-3)/[2b(n-1)]*∫dx/[(ax^2+b)^(n-1)]
令a=∫dx/(ax^2+b)^n
a-(2n-3)a/[2b(n-1)]=x/[2b(n-1)(ax^2+b)^(n-1)]
这个递推数列（差分方程）是线性的
a+P(n)a=Q(n)有解,不知你会常数变易法不?
不好意思,前面我看错了,这个可解的,用常数变易法,仿照一阶微分方程就可以解的,哈哈
由于过程太长,我只给你讲方法了,我自己推的,不知过程有没有错.
a+P(n)a=Q(n)的通解为
a={C+(j=2,n-1)∑Q(j)(-1)^(j-1)(i=2,j-1)∏1/[P(i)]}(-1)^( n-1)(k=2,n-1)∏P(k)
很长一串
∑是连加符号
∏是大写的π,即连乘符号
C是待定系数,一般由首项确定
你可以先试着求一个简单的
∫x^na^xdx=x^na^x/lna-n/lna*∫x^(n-1)a^xdx
即a+na/lna=x^na^x/lna
最简单的取e,a+na=x^ne^x
上面的结果还有点小错,下面这儿没错
那我补充一下常数变易法来求a+P(n)a=Q(n)的通解
（这部分不懂可以无视
首先,a+P(n)a=Q(n)的通解等于
a+P(n)a=0的通解+a+P(n)a=Q(n)的一个特解）
a+P(n)a=0,a/a=-P(n)
所以a=a*(-1)^(n-1)*(i=2,n)∏P(i)
下面把待定系数a换成关于n的函数u(n)）
以上可以无视,直接看下面也行
a=u(n)*(-1)^(n-1)*(i=2,n)∏P(i)代入方程
u(n)*(-1)^(n-1)*(i=2,n)∏P(i)+P(n)u(n-1)*(-1)^(n-2)*(i=2,n-1)∏P(i)=Q(n)
即u(n)-u(n-1)=Q(n)*(-1)^(n-1)*(i=2,n)∏1/P(i),解出u(n)即可（这个形式会解吧?）
u(n)-u(1)=(j=2,n)∑Q(j)(-1)^(j-1)*(i=2,j)∏1/P(i),u(1)=C为待定系数
即u(n)=(j=2,n)∑Q(j)*(-1)^(j-1)*(i=2,j)∏1/P(i)+C
a=u(n)*(-1)^(n-1)*(i=2,n)∏P(i)
=[(j=2,n)∑Q(j)*(-1)^(j-1)*(i=2,j)∏1/P(i)+C](-1)^(n-1)(k=2,n)∏P(k)
a=[Q(2)*(-1)/P(2)+C]*(-1)P(2)=Q(2)-CP(2)
所以C=[Q(2)-a]/P(2)
a=1/√(ab)*arctan[x*√(b/a)]
a=x/[2b(ax^2+b)]+1/(2b)*1/√(ab)*arctan[x*√(b/a)]
P(2)=-1/(2b)
Q(2)=x/[2b(ax^2+b)]
所以C=-x/(ax^2+b)+x/(ax^2+b)+1/√(ab)*arctan[x*√(b/a)]=1/√(ab)*arctan[x*√(b/a)]
所以
a
={(j=2,n)∑x/[2b(j-1)(ax^2+b)^(j-1)]*(-1)^(j-1)*(i=2,j)∏2b(i-1)*(-1)^(j-1)/(2i-3)+C}*(-1)^(n-1)(k=2,n)∏2b(k-1)*(-1)^(n-1)/(2k-3)
={(j=2,n)∑x/[2b(j-1)(ax^2+b)^(j-1)]*(i=2,j)∏2b(i-1)*/(2i-3)+C}*(k=2,n)∏2b(k-1)*/(2k-3)
a
={(j=2,n)∑x/[2b(j-1)(ax^2+b)^(j-1)]*(i=2,j)∏2b(i-1)*/(2i-3)+1/√(ab)*arctan[x*√(b/a)]}*(k=2,n)∏2b(k-1)*/(2k-3)
就这么多了

阿萨德

∫dx/(ax^2+b)^n=x/[2b(n-1)((ax^2+b)^(n-1)]+[(2n-3)/2b(n-1)]*∫dx/[(ax^2+b)^(n-1)]