设函数f(x)＝lnx+12ax2−2bx．

解题思路：（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性求出函数的最大值即可；
（Ⅱ）利用导数的意义，求出曲线的切线斜率，列出不等式求得a的取值范围；
（Ⅲ）构造函数g（x）=lnx+x（1-m），利用导数求得g(x)max＝g(

1

m−1

)．由方程f（x）=mx有唯一实数解，
即g（x）=0有唯一实数解，则必有g(

1

m−1

)＝ln

1

m−1

+

1−m

m−1

＝0⇒

1

m−1

＝e⇒m＝1+

1

e

．

（Ⅰ）依题意，f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=-3，b=1时，f(x)＝lnx−
3
2x2−2x，f′(x)＝
1
x−3x−2＝
1−3x2−2x
x…（2分）
由 f'（x）＞0，得3x²+2x-1＜0，解得−1＜x＜
1
3；由 f'（x）＜0，得3x²+2x-1＞0，解得x＞
1
3或x＜-1．
∵x＞0，∴f（x）在(0，
1
3)单调递增，在(
1
3，+∞)单调递减；
所以f（x）的极大值为f(
1
3)＝−ln3−
5
6，此即为最大值…（4分）
（Ⅱ）F(x)＝lnx+
a
x，x∈[
1
2，3]，则有k＝F′(x0)＝
x0−a
x02≤
1
2，在x0∈[
1
2，3]上有解，
∴a≥(−
1
2
x20+x0)min，x0∈[
1
2，3]…（6分）
∵−
1
2x02+x0＝−
1
2(x0−1)2+
1
2，
所以 当x₀=3时，−
1
2
x20+x0取得最小值−
9
2+3＝−
3
2，∴a≥−
3
2…（8分）
（Ⅲ）因为方程f（x）=mx有唯一实数解，所以lnx+x-mx=0有唯一实数解，…（9分）
设g（x）=lnx+x（1-m），则

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查学生利用导数研究函数的单调性、最值、求切线斜率等知识，考查对函数构造法、等价转化思想的运用能力，属难题．