设函数f(x)＝lnx−12ax2−bx

解题思路：（1 ）先求定义域，再求导数，利用导数研究函数的单调性，从而求最值．
（2）先把程2mf（x）=x²有唯一实数解，转化为所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，再利用单调函数求解．

（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．（1分）
当 a＝b＝
1
2时，f(x)＝lnx−
1
4x2−
1
2x，
f′(x)＝
1
x−
1
2x−
1
2＝
−(x+2)(x−1)
2x．（2分）
令f′（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．（3分）
所以f（x）的极大值为 f(1)＝−
3
4，此即为最大值．（4分）
（2）因为方程2mf（x）=x²有唯一实数解，
所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解．
设g（x）=x²-2mlnx-2mx，则 g′(x)＝
2x2−2mx−2m
x．
令g′（x）=0，得x²-mx-m=0．
因为m＞0，x＞0，
所以 x1＝
m−
m2+4m
2＜0（舍去），x2＝
m+
m2+4m​
2，（10分）
当x∈（0，x₂）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）单调递减，
当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）单调递增．
当x=x2时，g′（x₂）=0g（x），g（x₂）取最小值g（x₂）．（11分）
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．
则

g(x2)＝0
g′(x2)＝0

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性、极值、最值、不等式、方程的解等基本知识，同时考查运用导数研究函数性质的方法，分类与整合及化归与转化等数学思想．