设函数f(x)＝lnx+ax−1在(0，1e)内有极值．

解题思路：（1）函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞），求导函数，利用函数f(x)＝lnx+

a

x−1

在(0，

1

e

)内有极值，可得f′（x）=0在(0，

1

e

)内有解，令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）根据αβ=1，可设0＜α＜

1

e

，则β＞e，从而可求实数a的取值范围；
（2）求导函数确定函数f（x）的单调性，进而由x₁∈（0，1），可得f(x1)≤f(α)＝lnα+

a

α−1

；由x₂∈（1，+∞），可得f(x2)≥f(β)＝lnβ+

a

β−1

，所以f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α），又f(β)−f(α )＝2lnβ+a×

α−β

(β−1)(α−1)

=2lnβ+β −

1

β

．记h(β)＝2lnβ+β −

1

β

(β＞e)，可得h（β）在（0，+∞）上单调递增，从而问题得证．

（1）函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）
求导函数f′(x)＝
1
x−
a
(x−1)2＝
x2−(a+2)x+1
x(x−1)2
∵函数f(x)＝lnx+
a
x−1在(0，
1
e)内有极值
∴f′（x）=0在(0，
1
e)内有解，令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）
∵αβ=1，不妨设0＜α＜
1
e，则β＞e
∵g（0）=1＞0，
∴g(
1
e)＝
1
e2−
a+2
e+1＜0，
∴a＞e+
1
e−2
（2）证明：由f′（x）＞0，可得0＜x＜α或x＞β；由f′（x）＜0，可得α＜x＜1或1＜x＜β
∴f（x）在（0，α）内递增，在（α，1）内递减，在（1，β）内递减，在（β，+∞）递增
由x₁∈（0，1），可得f(x1)≤f(α)＝lnα+
a
α−1
由x₂∈（1，+∞），可得f(x2)≥f(β)＝lnβ+
a
β−1
∴f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α）
∵αβ=1，α+β=a+2
∴f(β)−f(α )＝2lnβ+a×
α−β
(β−1)(α−1)=2lnβ+a×

1
β−β
2−(a+2)=2lnβ+β −
1
β
记h(β)＝2lnβ+β −
1
β(β＞e)
则h′（β）=[2/β+1+
1
β2]＞0，h（β）在（0，+∞）上单调递增
∴h(β)＞h(e)＝e+2−
1
e
∴f(x2)−f(x1)＞e+2−
1
e

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的极值与单调性，考查不等式的证明，综合性比较强．

这个是不是用参变分离来算啊？可是怎么弄啊！我也在算。。。费解啊！

（1）f(x)倒数等于0，得a=(x-1)/x, 得a属于负无穷到（1-e）