（2012•广州二模）已知函数f(x)＝lnx−12ax2+x，a∈R．

解题思路：（1）由f（x）=lnx-[1/2]ax²+x，可求得f′（x）=

−ax2+x+1

x

，然后对a分a=0，a＞0，与a＜0分类讨论，利用f′（x）＞0，与f′（x）＜0可得其递增区间与递减区间；
（2）由（1）可知，当a＞0，函数取到极大值，此时f（x）=0有两个不等的根，即lnx＝

1

2

ax2−x有两个不等的根构造函数y=lnx与y＝

1

2

ax2−x，则两个图象有两个不同的交点，从而可求a的取值范围．

（1）∵f（x）=lnx-[1/2]ax²+x，a∈R，∴f′（x）=[1/x]-ax+1=
−ax2+x+1
x（x＞0），
∴当a=0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，由于x＞0，故-ax²＞0，于是-ax²+x+1＞0，
∴f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，f′（x）＞0得，0＜x＜
1+
1+4a
2a，即f（x）在（0，
1+
1+4a
2a）上单调递增；
由f′（x）＜0得，x＞
1+
1+4a
2a，即f（x）在（
1+
1+4a
2a，+∞）上单调递减；
（2）由（1）可知，当a＞0，x=
1+
1+4a
2a时函数取到极大值，此时
∵x→0，f（x）＜0，x→+∞，f（x）＜0
∴f（x）=0有两个不等的根
即f(x)＝lnx−
1
2ax2+x＝0有两个不等的根
即lnx＝
1
2ax2−x有两个不等的根
构造函数y=lnx与y＝

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，突出分类讨论思想与转化思想的渗透与应用，属于难题，第二题把有正的极大值的问题转化为图象开口向下与X轴有两个交点，思路巧妙，学习中值得借鉴．