已知函数f(x)=12ax2−(2a+1)x+2lnx.(a∈R);

已知函数f(x)=
1
2
ax2−(2a+1)x+2lnx.(a∈R)

(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线平行,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)设g(x)=x2-2x,是否存在实数a,对∀x1∈(0,2],∃x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2)均成立;若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.
wxb001 1年前 已收到1个回答 举报

cnscar 幼苗

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解题思路:(1)先求导函数,利用曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线平行,可求a的值;
(2)利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′(x);②解f′(x)>0(或<0);③得到函数的增区间(或减区间),对于本题的在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况;
(3)由题意可知f(x)的最大值小于g(x)的最大值,然后根据二次函数的增减性即可得到g(x)的最小值,再根据(2)求出的f(x)的单调区间,即可求出f(x)的最大值,进而列出关于a的不等式,求出不等式的解集即可得到a的范围.

(1)f′(x)=ax−(2a+1)+
2
x
∵曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线平行
∴f′(1)=f′(3)
∴a=
2
3
(2)函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=ax−(2a+1)+
2
x=
(x−2)(ax−1)
x
当a=0时,单调减区间为(0,2),单调增区间为(2,+∞);
当0<a<
1
2时,单调增区间为(2,[1/a]),单调减区间为(0,2),([1/a],+∞);
当a=
1
2时,单调增区间为(0,+∞);
当a>
1
2时,单调减区间为(0,[1/a]),(2,+∞);单调增区间为([1/a],2);
当a<0时,单调减区间为(2,+∞);单调增区间为(0,2);
(3)由已知,转化为f(x)max<g(x)max
由x∈(0,2],得到g(x)max=g(2)=0,
当a≤[1/2]时,f(x)在(0,2]单调递增,此时f(x)max=f(2)=-2a-2+2ln2,
∴-2a-2+2ln2<0
∴ln2−1<a≤
1
2,
当a>
1
2时,f(x)在(0,[1/a])上递增,在([1/a],2)上单调递减;
∴f(x)max=f([1/a])=-2-[1/2a]-2lna,则-2-[1/2a]-2lna<0恒成立
即只需a>
1
2即可(∵lna>ln
1
2>ln
1
e=−1,∴-2-2lna<0)
综上可知,存在实数a满足条件,a的范围(ln2-1,+∞)

点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.

考点点评: 本题考查的重点是导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的最值,考查恒成立问题,解题的难点是题意的理解与转化,体现了转化的思想.有一定的难度.

1年前

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