已知函数 f(x)＝2lnx+12ax2−(2a+1)x (a∈R)．

解题思路：（Ⅰ）当a=-[1/2]时，可求得f′（x），令f′（x）=0，可求得极值点，将x的取值情况，f′（x）正负情况及f（x）的增减情况列表，可求得函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）由于2-[1/a]=[2a−1/a]，对0＜a＜[1/2]，a=[1/2]及a＞[1/2]时分类讨论，根据f′（x）的正负情况即可得到函数的单调区间．

（Ⅰ）f（x）的定义域为{x|x＞0}，…．（1分）
当a=-[1/2]时，f′（x）=-
(x+2)(x−2)
2x，…．（2分）
令f′（x）=0，在[1，e]上得极值点x=2，

x [1，2） 2 （2，e]
f′（x） + 0 -
f（x） 增 2ln2-1 减…．（4分）
∵f（1）=-[1/4]，f（e）=2-
e2
4，…．（5分）
f（1）＜f（e），
∴f（x）_max=f（2）=2ln2-1，f（x）_min=f（1）=-[1/4]．…．（7分）
（Ⅱ）f′（x）=
(x−2)(ax−1)
x，…．（8分）
①0＜a＜[1/2]时，由f′（x）＞0得0＜x＜2或x＞[1/a]，
所以f（x）的单调增区间是（0，2），（[1/a]，+∞），
由f′（x）＜0得2＜x＜[1/a]，
所以f（x）的单调减区间是（2，[1/a]）；…．（10分）
②a=[1/2]时，f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，且当且仅当f′（2）=0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增；…．（11分）
③当a＞[1/2]时，由f′（x）＞0得0＜x＜[1/a]或x＞2，
所以f（x）的单调增区间是（0，[1/a]），（2，+∞），
由f′（x）＜0得[1/a]＜x＜2，
所以f（x）的单调减区间是（[1/a]，2）．…．（13分）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，突出考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想与分析推理能力，属于难题．