已知α，β是三次函数f(x)＝13x3+12ax2+2bx(a，b∈R)的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），

解题思路：已知α，β是三次函数f(x)＝

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx(a，b∈R)的两个极值点，对f（x）进行求导，可知α，β是方程x²+ax+2b=0的两个根，根据α∈（0，1），β∈（1，2），求出可行域，利用数形结合的方法进行求解；

由函数f(x)＝
1
3x3+
1
2ax2+2bx(a，b∈R)可得，
f'（x）=x²+ax+2b，…（2分）
由题意知，α，β是方程x²+ax+2b=0的两个根，…（5分）
且α∈（0，1），β∈（1，2），
因此得到可行域

f′(0)＝2b＞0
f′(1)＝1+a+2b＜0
f′(2)＝4+2a+2b＞0…（9分）
即

b＞0
a+2b+1＜0
a+b+2＞0，画出可行域如图．…（11分）
所以S＝
1
2×1×1=[1/2]…（12分）；

点评：
本题考点： 简单线性规划；导数的运算．

考点点评： 此题是一道简单的线性规划问题，利用导数研究函数的单调性，根据二次函数根与系数的关系得出可行域，此题是一道基础题；