选修4-5：不等式选讲已知a2+b2+c2=1（a，b，c∈R），求a+b+c的最大值．

解题思路：（法一）利用柯西不等式（a+b+c）²=（a•1+b•1+c•1）²≤（a²+b²+c²）（1²+1²+1²），即可求解；
（法二）直接利用基本不等式，即可求解．

（法一）∵a，b，c∈R，a²+b²+c²=1，
∴（a+b+c）²=（a•1+b•1+c•1）²≤（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）=3． 5分
当且仅当a＝b＝c＝

3
3时，a+b+c取得最大值
3．7分
（法二）∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≤a²+b²+c²+（a²+b²）+（b²+c²）+（a²++c²）3分
∵a²+b²+c²=1，
∴（a+b+c）²≤3，当且仅当a＝b＝c＝

3
3时等号成立，6分
∴a+b+c的最大值为
3． 7分．

点评：
本题考点： 柯西不等式在函数极值中的应用；基本不等式在最值问题中的应用．

考点点评： 本题主要考查一般形式的柯西不等式的应用，掌握柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2是关键．