weinini
幼苗
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(1)F(x)=∫(从0到x) (2x-4t)f(t)dt
F(-x)=∫(从0到-x) (-2x-4t)f(t)dt 令t=-y,dt=-dy,t从0到-x,y从0到x
=∫(从0到x) (-2x+4y)f(-y)(-dy) f(x)为奇函数,故f(-y)=-f(y)
=∫(从0到x) (-2x+4y)f(y)dy
=- ∫(从0到x) (2x-4y)f(y)dy
=-∫(从0到x) (2x-4t)f(t)dt=-F(x)
故F(x)为奇函数 .
(2)由于F(x)为奇函数,要想在(-∞,+∞)上单调递增,只需在[0,+∞)单调递增.
当x≥0时,只需
F'(X)=d[∫(从0到x) (2x-4t)f(t)dt]/dx
=d[∫(从0到x) 2xf(t)dt-∫(从0到x) 4tf(t)dt]/dx
=d[2x∫(从0到x) f(t)dt-∫(从0到x) 4tf(t)dt]/dx
=2∫(从0到x) f(t)dt+2x*f(x)-4xf(x)
=2∫(从0到x) f(t)dt-2x*f(x)
=2x[f(ξ)-f(x)]≥0恒成立,对0
1年前
10