高数证明题设函数f（x）在[0,∞）上有二阶连续导数,且对任意x≥0有f''(x)≥k,其中k大于0,为一个常数,f（0

证明：构造函数g(x)=(1/2)kx²+f'(0)x+f(0),容易验证g(0)=f(0).
∵g'(x)=kx+f'(0)
∴g'(0)=f'(0),g''(x)=k
[f'(x)-g'(x)]'=f''(x)-g''(x)=f''(x)-k≥0
∴f'(x)-g'(x)在[0,∞）单调递增,
又∵f'(0)-g'(0)=0
∴f'(x)-g'(x)≥0
∵[f(x)-g(x)]’=f'(x)-g'(x)≥0
∴f(x)-g(x)在[0,∞）单调递增
又∵f(0)-g(0)=0
∴f(x)-g(x)≥0,即f(x)≥g(x)=（1/2)kx²+f'(0)x+f(0),
∵k＞0
∴ 当x→+∞时,lim g(x)=+∞
f（x）在[0,∞）上有二阶连续导数,
故f（x）在[0,∞）上连续
而f（0）＜0,f（+∞）＞0
由连续函数的介值定理可知f（x）在（0,∞）必定有零点
下面证明零点的唯一性.
∵f''（x)=k＞0对x≥0成立
∴f'（x）是[0,∞）上严格单调递增的连续函数
∴f'（x）在[0,∞）上最多只有一个零点.
若f'（x）没有零点,由于f(0)＜0,f（+∞）＞0
故f（x）是[0,∞）上严格单调递增的连续函数,零点当然唯一；
若f'（x）有一个零点,同理由于f(0)＜0,f（+∞）＞0；
故此时f（x）在[0,∞）上最多只有两个单调区间（0,a）和（a,+∞）,且f（x）在（0,a）单调递减,在（a,+∞）单调递增,这样f（x）必定在（a,+∞）上有唯一的零点.

假设f有两个0点，由f(0)<0可知存在两点使得在这两点f'异号，因此f''存在0点，与已知矛盾