设A是n阶实对称幂等矩阵,即A²=A.

设A是n阶实对称幂等矩阵,即A²=A.
（1）证明：存在正交矩阵Q,使得(Q-1)AQ=diag（1,1,……,1,0,……,0）
（2）若A的秩为r,计算det（A-2I）.

香积有能 1年前已收到1个回答举报

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（1）A是n阶实对称幂等矩阵,故A的特征值只能是0和1
故存在正交矩阵Q,使得(Q-1)AQ=diag（1,1,……,1,0,……,0）
（2）设特征值1是r重,0是n-r重,
则矩阵A-2I有r重特征值1-2=-1,n-r重特征值0-2=-2
所以det(A-2I)=(-1)^n*2^(n-r)

1年前追问

香积有能举报

第一问只说明Q是可逆矩阵，对其为正交矩阵一点没有作出证明

举报 40好男

只要A是实对称矩阵，就一点存在正交矩阵Q，使得(Q-1)AQ=Q'AQ为对角矩阵。

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