已知函数f（x）=[1/2]x2-alnx

（1）f′（x）=x-[a/x]，
由题意知y=f（x）在x=1处的切线斜率为2，即f′（1）=2，
∴1-a=2，解得a=-1；
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x-[a/x]=
x2−a
x，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，由f′（x）＜0，得0＜x＜
a；由f′（x）＞0，得x＞
a．
∴当a≤0时，f（x）的递增区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的递减区间是（0，
a]，递增区间是[
a，+∞）．
（3）取a=1，由（2）知，f（x）=[1/2]x²-lnx在[1，+∞）上单调递增，
∴f（x）≥f(1)＝
1
2，
∴[1/2]x²-lnx≥
1
2，[1/2]x²≥lnx+[1/2]，
∴对任意的n∈N^*，[1/2]n²≥lnn+[1/2]＞lnn．

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 该题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值，考查学生分析解决问题的能力，注意：求单调区间要在定义域内进行．